ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦ.37 (Προβλήματα με αντιστρόφως ανάλογα ποσά )

ΠΩΣ ΛΥΝΟΥΜΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Μπορούμε να βρούμε την άγνωστη τιμή σε ένα πρόβλημα με αντιστρόφως ανάλογα ποσά με δύο τρόπους :

ANTISTROFOS_ANALOGA1

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ

ANTISTROFA_POSA_problhmata

ANTISTROFOS_ANALOGA2

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Προβλήματα με ποσά που είναι αντιστρόφως ανάλογα

ΚΛΙΚ —->>>Αντιστρόφως_Ανάλογα_Ποσά



ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦ.36 (Αντιστρόφως ανάλογα ή αντίστροφα ποσά)

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ – ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΟΣΑ

ANTISTROF1

Όταν ένα ποσό αυξάνεται και το άλλο μειώνεται ή και το αντίθετο, τότε λέμε ότι τα ποσά αυτά είναι αντιστρόφως ανάλογα

Π.χ Ένας κηπουρός για να τελειώσει το σκάψιμο ενός κήπου χρειάζεται 4 μέρες. Οι 2 κηπουροί σε πόσες μέρες θα τελειώσουν το σκάψιμο του κήπου (σκάβοντας με τον ίδιο ρυθμό) ;

ΛΥΣΗ

Ο λόγος είναι: κηπουροί/μέρες. Άρα 1/4=2/χ και 1*4=2*χ άρα 4=2*χ και χ=4:2 x=2
Απάντηση: Θα χρειαστούν 2 μέρες.

Στα αντίστροφα ποσά δεν πολλαπλασιάζουμε χιαστί , αλλά τον πάνω με τον κάτω αριθμό σε κάθε λόγο, βάζοντας ανάμεσα το =, κατόπιν λύνουμε κανονικά την εξίσωση.

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ

ANTISTROFA_POSA

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦ.34 (Ανάλογα ποσά)

ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

POSA_ANALOGA2

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ

naloga_posa_1

Δύο ποσά είναι ανάλογα, όταν οι τιμές του ενός προκύπτουν από τις τιμές του άλλου, πολλαπλασιάζοντας κάθε φορά με έναν σταθερό αριθμό. Για παράδειγμα, η αξία των τετραδίων που αγοράζουμε είναι ανάλογη προς το πλήθος των τετραδίων:

POSA_ANALOGA5

κάθε φορά για να βρούμε την αξία των τετραδίων πολλαπλασιάζου­με το πλήθος των τετραδίων με τον ίδιο αριθμό δηλαδή το 3 .
Στα ανάλογα ποσά ο λόγος των τιμών των δύο ποσών είναι σταθερός : 1/3 = 2/6 = 3/9 = 4/12
Στα ανάλογα ποσά, όταν πολλαπλασιάζεται η τιμή του ενός ποσού με έναν αριθ­μό, τότε πολλαπλασιάζεται και η τιμή του άλλου ποσού με τον ίδιο αριθμό.

POSA_ANALOGA3

 

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦ.33 (Σταθερά και μεταβλητά ποσά)

ΣΤΑΘΕΡΑ ΚΑΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΑ ΠΟΣΑ

posa1

Καθημερινά χρησιμοποιούμε έννοιες που δεν είναι δυνατό να μετρηθούν.Αυτές τις έννοιες τις αντιλαμβανόμαστε σύμφωνα με τη δική μας κρίση .Δηλαδή, η εκτίμηση αυτών των εννοιών γίνεται με υποκειμενικά κριτήρια π.χ η χαρά, η λύπη, το καλό, το κακό, η ευτυχία, κ.ά. Αυτές οι έννοιες δεν μπορούν να μετρηθούν. Παράδειγμα : Θέλει αρετή και τόλμη η ελευθερία(Α. Κάλβος). Δεν μπορούμε να μετρήσουμε την αρετή και την τόλμη.

Υπάρχουν όμως και έννοιες που μπορούν να μετρηθούν ή να απαριθμηθούν. Τέτοιες έννοιες είναι η θερμοκρασία,η ταχύτητα,ο χρόνος,ο όγκος,το εμβαδό,το βάρος,το μήκος κ.ά. Παράδειγμα : Ο Δημήτρης μένει σε ένα σπίτι 100 τ. μ , ο Πέτρος τρέχει τα 100 μέτρα σε 55 δευτερόλεπτα.

Ποια όμως η διαφορά του «ποσού» από την «τιμή»;

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ

MATHIMATIKA_33

poso3

Σε τι διαφέρουν τα «σταθερά» από τα «μεταβλητά» ποσά;

posa4

posa2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦ.32 (αναλογίες)

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ANALOG1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Τα 9 κορίτσια της Στ τάξης πήγαν στον κινηματογράφο να δουν τη νέα ταινία και πλήρωσαν 63 €. Επειδή όμως δυσαρεστήθηκαν τα αγόρια , αποφάσισαν να τα πάρουν μαζί τους και να ξαναδούν το έργο. Πόσο θα πλήρωναν τώρα που θα πήγαιναν 22 παιδιά ;

Συμπληρώνουμε τον πίνακα δίνοντας μεγάλη προσοχή πού θα βάλουμε τον κάθε αριθμό (παιδιά – €)

  • Σχηματίζουμε τους λόγους 9/63 και 22/χ

  • Συγκρίνουμε τους δυο λόγους ( πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς που βρίσκονται στο ίδιο χρώμα)

Τα σταυρωτά γινόμενα είναι 9 . χ = 63 . 22

αφού 9 . χ = 1386 και χ = 1386 : 9 = 154 €

Γνωρίζουμε ότι υπάρχει αναλογία, ( 1 εισιτήριο / 7€ ) και 9 . 154 = 63 . 22

Τα σταυρωτά γινόμενα μιας αναλογίας είναι ίσα.

ANALOGIES_32

ANALOG2

ΚΛΙΚ———>>> Βρες  τους  ίσους  λόγους  (όσο  γρηγορότερα  μπορείς) 

 και  πυροβόλησε
http://www.arcademicskillbuilders.com/games/ratio-blaster/ratio-blaster.html

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦ.31 (Από τους λόγους στις αναλογίες)

ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΛΟΓΟΥΣ ΣΤΙΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

logoi_anaogl1

Παράδειγμα :

Στην εκδρομή του σχολείου οι 22 μαθητές της ΣΤ’ τάξης πλήρωσαν 110 €. Από την Ε’ τάξη ομοίως οι 16 μαθητές πλήρωσαν 80 €.

Γράφουμε τους αντίστοιχους λόγους : 22/110 και 16/80

Αν συγκρίνουμε τους λόγους θα παρατηρήσουμε ότι είναι ίσοι : 22/110 = 16/80 και = 1/5 .

Κάθε τάξη δηλαδή πλήρωσε ανάλογα με τα παιδιά που είχε (5 € ο μαθητής).

Αν συμπληρώσουμε τον παρακάτω πίνακα παιδιών και χρημάτων θα παρατηρήσουμε ότι οι λόγοι που σχηματίζονται είναι ίσοι

Η ισότητα λοιπόν δυο λόγων λεγεται Αναλογία και για να σχηματίσω αναλογία από ένα λόγο, αρκεί να φτιάξω έναν άλλο λόγο που να είναι ίσος με τον πρώτο, ίδια διαδικασία με τα ισοδύναμα κλάσματα (πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας και τους δύο όρους με κάποιον αριθμό).

MATHIMATIKA_31

logoi_anaogl2

ΜΑΘΑΙΝΩ ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ

ΒΡΕΣ ΤΙΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΙ ΒΓΕΣ ΠΡΩΤΟΣ
ΒΡΕΣ ΤΟΥΣ ΙΣΟΥΣ ΛΟΓΟΥΣ ΚΑΙ ΠΥΡΟΒΟΛΗΣΕ